Page 91 - M11_2024

Вписаната и описаната окръжност за правилния многоъгълник са кон-
центрични.

Определение 2
Общият център на вписаната и на описаната окръж-
ност на правилен n-ъгълник се нарича център на многоъгълника.

Ще установим зависимости между страната на правилен n-ъгълник и ра-
диусите на вписаната и на описаната му окръжности.

Теорема 4
Ако a n е страната на правилен n-ъгълник, а r n и R n са
съответно радиусите на вписаната и на описаната му окръжност, то
180 ◦ 180 ◦
a n = 2R n sin и a n = 2r n tg .
n n
1
Доказателство: В △OA 1 M имаме OA 1 = R n , OM = r n , A 1 M = a n и
2
n − 2
)
< OA 1 M = .180 ; <) OMA 1 = 90 , следователно <) A 1 OM =
◦
◦
2n
n − 2 180 ◦ A 1 M 180 ◦ 180 ◦
◦ ◦ . Тогава . Също
90 − .180 = = sin ⇒ a n = 2R n sin
2n n OA 1 n n
A 1 M 180 ◦ 180 ◦
така = tg ⇒ a n = 2r n tg .
OM n n
Задача 1. Да се намерят радиусите на вписаната и описаната окръжност
около правилен:
а) шестоъгълник със страна a; б) осмоъгълник с периметър P.
Решение:
180 ◦
а) Използваме теорема 4 и получаваме, че a = 2R sin = 2R sin 30 = R
◦
√ 6
180 ◦ 2r a 3
и a = 2r tg = 2r tg 30 = √ ⇒ r = .
◦
6 3 2
P
б) Знаем, че a = и пресмятаме последователно
8
180 ◦ P P
a = 2R sin = 2R sin 22, 5 ⇒ R = ≈ (заместваме сину-
◦
8 16 sin22, 5 ◦ 6, 08
са, използвайки калкулатор);
180 ◦ P P
a = 2r sin = 2r sin 22, 5 ⇒ r = ≈ .
◦
8 16 tg 22, 5 ◦ 6, 56
При пресмятане на елементи на правилни многоъгълници е добре да из-
ползваме калкулатор, като заместваме с приближената стойност в послед-
ния етап от пресмятанията, за да намалим грешката от приближението.
Задача 2. Ъгълът на правилен многоъгълник е 150 , а периметърът му е
◦
36 cm. Да се намери лицето на вписания в многоъгълника кръг.
90