Page 71 - M11_2024

Решение:
Да означим с DP и DH височините на успо-
редника.
)
а) От < BAD = 60 и < BAD +<) ABC = 180 ◦
)
◦
⇒< ABC = 120 .
)
◦
От косинусовата теорема за △ABC получаваме
2
2
2
AC = AB + BC − 2AB.BC. cos 120 ◦
1
2
AC = 64 + 25 + 2.8.5. = 129 ⇒ AC = √ 129 cm.
2
От косинусовата теорема за △ABD аналогично получаваме BD = 7 cm.
2 2 2 2
Може да намерим BD и използвайки равенството d + d = 2a + 2b ⇒
2
1
2
2
129 + BD = 2.64 + 2.25 ⇒ BD = 49.
√
5 3
б) От правоъгълния △AHD намираме DH = AD. sin 60 = .
◦
2
Аналогично от правоъгълния △DPC намираме
√
8 3 √
DP = CD. sin 60 = = 4 3 cm.
◦
2
в) За да намерим радиуса R 1 на описаната около △ABD окръжност, при-
лагаме синусовата теорема
√ √
BD 7 14 3 7 3
2R 1 = = √ = ⇒ R 1 = cm.
sin 60 ◦ 3 3 3
2
Аналогично, като приложим синусовата теорема за △ABC, намираме R 2 .
√
AC 129 √ √
2R 2 = = √ = 2 43 ⇒ R 2 = 43 cm.
sin 120 ◦ 3
2
Да докажем и теореми, свързани с лице и ъгли на успоредник.
Теорема 2
За успоредник със страни a и b, и ъгъл между тях α е
изпълнено S = ab sin α.
Доказателство:
D C
Нека DH е височината от върха
D към AB и AD = BC = b, а AB =
CD = a. Тогава от правоъгълния b
△ADH следва, че DH = AD sin α =
b sin α и S = DH.AB = ab sin α. a
A H a B
70