Page 67 - M11_2024

r √
2
a − b 2a a − b 2 1
е ) − . = 0;
∗
2
a + b b (ab −1 + 1) 2 1 − ba −1
1 +
1 + ba −1
p √ √ p √ √ p √ p √
ж ) 4 23 − 7. 4 23 + 7 + 6 5 2 + 7. 6 5 2 − 7 = 3?
∗
5. Докажете неравенството:
r
q
q
p √ √ √ √
1
3
5 > log ( 81. 3. 27).
а) 5 (2 −1 ) 4 > 3 15 8 −1 ; б) 5 log 2+log 3 3 3 6 4
5
6. Сравнете числата:
√ √ √ √ √
а) 7 и 3 16; б) 3 −125 и 5 32; в) 1 и 3 2, 7;
√
0
г) 1 и 7 −3 ; д) 5 и 5 −1 ; е) 1 и 30 27;
49 p √ p √ √ √
ж) 2 и 3 8; з) log 0,5 5 и log 0,5 3 10; и) log √ 0,1 0, 2 и 1;
√ 2 3
к) lg(2 5) и lg 4, 5; л) log 71 и log 71 .
43 44
7 . Намерете рационалните числа k, за които е вярно:
∗
√ √ p √
k
k k
а) 3 81 .(3 ) = 3; б) 3 2 : 2 −k = 16; в) 2 .3 = 6 36 6;
2k
k
k
√ √ √
k
г) 6 3−k .6 4+k = 3 216 ; д) 0, 4.2, 5 3k+1 > 125.8 −1 ; е) (2 −1 3k−1 ≦ 4 32 −1 ;
)
2
2
9
ж) p log k = 2 3 ; з) log (k + 1) = 1; и) k = 125;
3
3
√ 3 √ √ √
3
k
4
к) 3 = 6; л) (1 + k ) 2 = 2; м) 2 k+1 = 3 3.
8 . Намерете целите числа p, за които е вярно неравенството:
∗
r
√ p √ √ 5
а) 2 3p 512 < 2 2; б) 25.5 2p ≦ 3 75. 3 ;
3
r r
1
5
2 3p+1 125 p+2 1
в) > ; г) ≧ 9.
5 2 8 3 27
9 . Определете допустимите стойности на израза:
∗
x − 1
2
2
а) log x ; б) log 1(1 + 2x + x ); в) log x−1 (2 − x ); г) log 2 7.
x −4
x + 2 2
x
10 . Дадена е функцията y = 5 . Докажете, че ако стойностите на степен-
∗
ния показател образуват аритметична прогресия, то съответните стойности
на функцията образуват геометрична прогресия.
11 . Пресметнете:
∗
а) lg tg 1 . lg tg 2 . . . . lg tg 89 ; б) lg sin 1 . lg sin 2 . . . . lg sin 90 ;
◦
◦
◦
◦
◦
◦
√ √ √
в) lg tg 1 + lg tg 2 + . . . + lg tg 89 ; г) 4 5 log 4 2 (3− 6)−6 log ( 3− 2) .
√
◦
◦
◦
8
12. Сравнете числата a, b и c, ако:
1 p √
а) a = log 2 √ , b = log 3 √ 8 и c = − log log 5 9;
2 4 2 2 5 3
lg 12 − lg 3 lg 64 3 lg 2 + lg 3
б) a = , b = и c = ;
lg 8 lg 48 − lg 3 lg 576
√ √ √
64 15 3 81. 3
6
в) a = log √ 3 , b = log 0,6 и c = log 3 √ .
2 27 5 5 27
66