Page 106 - M11_2024

27 ТРИГОНОМЕТРИЧНИФУНКЦИИНАОБОБЩЕНЪГЪЛ.
ПРОДЪЛЖЕНИЕ

Ако второто рамо на обобщен ъгъл α е във втори или трети квадрант, да
разгледаме образа M 2 (x 2 ; y 2 ) на пресечната точка M 1 (x 1 ; y 1 ) на единичната
окръжност с второто рамо на ъгъла α при централна симетрия с център O.
Както знаем от 8. клас, M 2 = σ 0 (M 1 ) = ρ ±180 ◦ (M 1 ) и x 2 = −x 1 , y 2 =
O
−y 1 . Следователно M 2 е също точка от тригонометричната окръжност и за
произволен обобщен ъгъл α са изпълнени тъждествата:

sin(α ± 180 ) = − sin α,
◦
cos(α ± 180 ) = − cos α,
◦
tg(α ± 180 ) = tg α,
◦
cotg (α ± 180 ) = cotg α.
◦
Тези тъждества позволяват да докажем следващите теореми, като се огра-
ничим с разглеждане само на случаите, когато второто рамо на обобщения
ъгъл е в първи или четвърти квадрант.
Да разгледаме координатната система xOy, единичната окръжност k и
правата t, допирателна към k в точката A. Оста At → се нарича тангенсова
ос.

Теорема 1
π
Тангенс на обобщения ъгъл α 6= (2k + 1) (k-цяло чис-
2
ло) е равен на ординатата на точката T (пресечната точка на вто-
рото рамо на ъгъла с тангенсовата ос).

a
a

105