Page 107 - M11_2024

Доказателство: I случай: Нека второто рамо на обобщения ъгъл α е в
първи квадрант (а).
Знаем, че OA = 1. От подобните триъгълници OM x M и OAT получаваме:

AT M x M M x M
= , т.е. AT = .
OA OM x OM x

Като вземем предвид, че M x M = sin α, OM x = cos α и AT е ординатата на
точката T, получаваме твърдението на теоремата.
II случай: Нека второто рамо на обобщения ъгъл α е в четвърти квад-
рант (б).
M x M
Чрез аналогични на I случай разсъждения получаваме AT = . Тъй ка-
OM x
то M x M = − sin α, OM x = + cos α и −AT е ординатата на точката T, получа-
ваме:
M x M − sin α
AT = ⇔ AT = − = tg α,
OM x cos α
което е и твърдението на теоремата.
Случаите, в които второто рамо на ъгъла е във втори или в трети квад-
рант и функцията тангенс е дефинирана, се разглеждат аналогично.

Да разгледаме координатната система xOy, единичната окръжност k и
правата t, допирателна към k в точката B. Оста Bt → се нарича котангенсова
ос.

Теорема 2
Котангенс на обобщения ъгъл α 6= kπ (k – цяло число) е
равен на абсцисата на точката T (пресечната точка на второто рамо
на ъгъла с котангенсовата ос).

Доказателство: I случай: Нека второто рамо на обобщения ъгъл α е в
първи квадрант (а). Знаем, че OB = 1. От подобните триъгълници OM y M и
OBT получаваме:

BT M y M M y M
= т.е. BT = .
OB OM y OM y

Тъй като M y M = cos α, OM y = sin α и BT е абсцисата на точката T, полу-
чаваме твърдението на теоремата.

106