Page 109 - M11_2024

y

B
Q

M P
2. Използвайте дадения чертеж, r = 1
за да обясните защо при α < 45 е a
◦
вярно неравенството tg α < cotg α. O C A x

π

3. Обяснете геометрично защо не може да се дефинират tg ± kπ и
2
cotg (kπ).
4. Ако α < β, вярно ли е, че tg α < tg β?
5. Обяснете защо sin(α ± 2kπ) = sin α, cos(α ± 2kπ) = cos α.
6. Докажете тъждеството за α ∈ (0 ; 180 ):
◦
◦
2
sin α sin α + cos α π
а) + − cos α = sin α, α 6= (2k + 1) ;
2
sin α − cos α 1 − tg α 4
2
1 − cos α 1 1 π
б) + = , α 6= k .
2
2
1 − sin α tg α.cotg α cos α 2
7. Намерете стойността на израза:
1
3
а) 5 cosα − 3 sin α , ако tg α = ; б) sin α + cos α, ако tg α = ;
4
4
cos α + 5 sin α 4 2
в) sin α , ако cotg α = √ 3.
sin α + cos α
8. Опростете израза за α ∈ (0 ; 180 ) и β ∈ (0 ; 180 ):
◦
◦
◦
◦
2
2
а) (cos α + cos β) + (sin α + sin β) ; б) (cos α − cos β) + (sin α − sin β) ;
2
2
2
2
в) (sin α + cos α) + (sin β + cos β) ; г) (sin α − cos α) + (sin β − cos β) ;
2
2
2
4
2
2
2
2
2
д) 1 + cos α.tg α − cos α; е) sin α + cos α + sin α. cos α.
9. Ако sin x + cos x = a и x ∈ (0 ; 180 ), намерете:
◦
◦
6
6
4
3
3
4
а) sin x. cos x; б) sin x + cos x; в) sin x + cos x; г) sin x + cos x.
10. Съществува ли ъгъл α, за който:
а) cos α = −1; б) cos α = 0; в) tg α = 1; г) sin α = 2020;
3
д) sin α = 1, 5; е) cotg α = −1; ж) tg α = 2021; з) sin α = ?
4
11. Ако sin α > 0, а cos α < 0, вярно ли е, че:
а) tg α < 0; б) tg α + cotg α < 0?
12. Докажете тъждеството за α ∈ (0 ; 180 ):
◦
◦
1 1
2
2
а) 1 + tg α = ; б) 1 + cotg α = .
2
cos α sin α
2
108