Page 111 - M11_2024

Задача 1. За произволен обобщен ъгъл да се докажат тъждествата:
π π
а) sin − α = cos α, cos − α = sin α;
2 2
π π
б) sin + α = cos α, cos + α = − sin α;
2
π π
2
в) tg − α = cotg α, cotg − α = tg α;
2
π 2 π
г) tg + α = −cotg α и cotg + α = − tg α.
2 2
Решение:
а) Както вече знаем, cos α = cos (−α) и sin α = − sin (−α). (1)
Нека M (cos (−α) ; sin (−α)) е пресечната точка на единичната окръжност
π π

с второто рамо на ъгъла −α, а N cos − α ; sin − α – с второто рамо
π 2 2
на ъгъла − α.
2
π π π
От N=ρ (M) следва, че cos −α =− sin (−α) и sin − α =cos (−α). (2)
2
O
π 2 π 2
От (1) и (2) следва sin − α = cos α и cos − α = sin α.
2 2
Докажете самостоятелно останалите тъждества.
Задача 2. Да се пресметнат:
а) sin 210 , sin 300 , sin 315 , sin (−30 );
◦
◦
◦
◦
б) cos (−270 ), cos (−150 ), cos (−720 ), cos 810 ;
◦
◦
◦
◦
в) tg (−45 ), tg (−405 ), tg 210 , tg 3645 ;
◦
◦
◦
◦
г) cotg (−120 ), cotg (−330 ), cotg 450 , cotg 585 .
◦
◦
◦
◦
Решение:
1
а) sin 210 = sin (90 + 120 ) = cos 120 = − ,
◦
◦
◦
◦
2 √
3
◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
sin 300 =sin (90 + 210 )=cos 210 =cos (90 + 120 )=− sin 120 =− ,
2 √
2
◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ,
sin 315 =sin (90 + 225 )=cos 225 =cos (90 + 135 )=− sin 135 =−
2
1
sin (−30 ) = − sin 30 = − .
◦
◦
2
Задача 3. Ако cos 2020 = c, да се пресметнат sin 2020 , tg 2020 и cotg 2020 .
◦
◦
◦
◦
Решение:
Тъй като 2020 : 90 = 22 (ост. 40), то второто рамо на ъгъла е в трети
√
квадрант. Следователно cos 2020 = c < 0, sin 2020 = − 1 − c ,
2
◦
◦
√
− 1 − c 2 −c
tg 2020 = > 0 и cotg 2020 = √ > 0.
◦
◦
c 1 − c 2
Задачи
1. В кои квадранти знаците на:
а) tg α и sin α са различни; б) cotg α и cos α са еднакви;
в) cos α и sin α са различни?
110