Page 110 - M11_2024

13. Сравнете по големина ъглите α и β, за които е дадено, че:
√
1 1 5 1
а) tg α = − , cotg β = − ; б) sin α = , α > 90 , tg β = − ;
◦
2 3 5 2
√
7
в) cos α = , cotg β = 2.
7
14 . Докажете, че ако за произволен ъгъл α означим tg α + cotg α = a и
∗
1 1 2 2
+ = b, то b = a + 2a.
sin α cos α
sin α + tg α
15 . Докажете, че > 0 за всеки ъгъл, за който изразът е де-
∗
cos α + cotg α
финиран.
7
16 . За ъгъла α е дадено, че sin α − cos α = и tg α < cotg α. Пресметнете
∗
5
3
3
sin α + cos α, ако α ∈ (0 ; 180 ).
◦
◦
28 ОСНОВНИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИ ТЪЖДЕСТВА

От 9. и 10. клас знаем, че ако тригонометричните функции на ъгъл α са
дефинирани за α ∈ [0 ; 180 ], са изпълнени тъждествата:
◦
◦
2
sin α + cos α = 1 (основно тригонометрично тъждество),
2
sin α cos α
tg α = , cotg α = , tgα.cotg α = 1,
cos α sin α

2
2
2
2
cos α = 1 − sin α, sin α = 1 − cos α, tg α = 1 , cotg α = 1 .
cotg α tg α
Да се убедим, че те са изпълнени за произволен обобщен ъгъл α.
y
Основното тригонометричнотъж-
дество sin α + cos α = 1 следва
2
2
непосредствено от Питагоровата
теорема и дефинициите на sin α и O cosa x
cos α. От него следват и тъждествата
2
2
cos α = 1 − sin α, sin α = 1 − cos α. k a
2
2
sina
sin α cos α
По определение tg α = и cotg α = , а от тези тъждества следват
cos α sin α
1 1
tg α.cotg α = 1, tg α = и cotg α = .
cotg α tg α
109