Page 180 - M11_2024

• знаменателят на израз се рационализира чрез умножение с подходящо
избран множител, като се използват формулите:
√ n
( a) = |a|,
n
3
3
2
(a + b) a − ab + b 2 = a + b ,
3
3
2
(a − b) a + ab + b 2 = a − b ,
2
(a − b) (a + b) = a − b .
2
Степен с рационален степенен показател
m
Степента a n с основа a, a реално положително число и рационален сте-
m
пенен показател , m цяло число, n естествено число, n ≧ 2 се определя с
n
m √
m
равенството a n = n a .
За преобразуване на изрази, които съдържат степен с рационален степе-
нен показател и основа реално положително число, се използват свойствата:
m p m + p
• a n .a = a n q
q
m p m p
• a n : a = a n − q
q
p m p
m q .
• a n = a n q
m m m
• (ab) n = a n b n
m m
a n a n
• = m
b b n
За сравнение на степени с рационален степенен показател се използват
графиката на показателната функция или свойствата:
m
• Ако a > 0, то a n > 0;
m p m p
• Ако a > 1, то < ⇔ a n < a ;
q
n q
m p m p
• Ако 0 < a < 1, то > ⇔ a n < a ;
q
n q
m p m p
• Ако a > 0 и a 6= 1, то = ⇔ a n = a .
q
n q
Логаритъм
x
Единственото решение на уравнението a = b, a > 0 и a 6= 1 е x = log b,
a
откъдето се вижда, че се логаритмуват само положителните числа.
За логаритмуване на изрази се използват следните равенства:
a = b, a > 0, a 6= 1 и b > 0;
• a log b
• log 1 = 0 и log a = 1 при a > 0 и a 6= 1;
a
a
• log (N 1 N 2 ) = log N 1 + log N 2 , a > 0, a 6= 1, N 1 > 0 и N 2 > 0;
a
a
a
N 1
• log a = log N 1 − log N 2 , a > 0, a 6= 1, N 1 > 0 и N 2 > 0;
a
a
N 2
• log N = k log N, a > 0, a 6= 1, N > 0 и k ∈ Q;
k
a
a
log N
• log N = b , a > 0, a 6= 1, N > 0, b > 0 и b 6= 1.
a
log a
b
179