Page 183 - M11_2024

От намерените дължини следва, че BC > AC и следователно
√ √ √
2 2 2 10 2 2 1 3 4 √
cos < ABC = , AB = 2.6 . + . = (8 5 + 3) cm.
)
3 7 3 3 7 7
Задача 2. Даден е успоредник D C
)
)
ABCD, за който < CAD = 2 < ACD a
= 2α и AD = 5 cm. Да се намерят пе- 5
риметърът и лицето на успоредника, 2a
4
ако cos α = . A B
5
Решение:
Прилагаме синусова теорема за △ACD:
5 CD 5.2 sinα cos α 4

= ⇔ CD = = 10 cos α. Следователно CD = 10. =
sin α sin 2α sin α 5

8 cm и P ABCD = 10 + 16 = 26 cm.
S ABCD = AB.AD. sin 3α = 5.8(sin 2α cos α + sin α cos 2α) =
2
2
2
2
40 sin α(2 cos α + 2 cos α − 1) = 40 sin α(4 cos α − 1) = 40.3 39 = 936 cm .
.
5 25 25
2
2
Задача 3. Да се докаже, че за страните на △ABC равенството a = b +bc е
изпълнено тогава и само тогава, когато за съответните му ъгли е изпълнено
α = 2β.
Решение:
Нека α = 2β, да използваме синусова теорема:
a = 2R sin α = 2R sin 2β, b = 2R sin β, c = 2R sin γ = 2R sin(180 − 3β) =
◦
2R sin 3β.
2 2 2 2 2 2
a = b + bc ⇔ 4R sin 2β = 4R (sin β + sin β sin 3β) ⇔
β + 3β β − 3β
2
Следователно sin 2β = sin β(sin β + sin 3β) = 2 sin β sin cos .
2 2
2
Получаваме вярното равенство sin 2β = 2 sin β sin 2β cos β.
Нека a = b + bc, от синусова теорема имаме, че равенството е еквива-
2
2
2
2
лентно на sin α = sin β + sin β sin γ = sin β(sin β + sin γ) =
α α 2β + α α
sin β(sin β + sin(α + β)) ⇔ 2 sin α sin cos = 2 sin β sin cos
2 2 2 2
α 2β + α
⇔ sin α sin = sin β sin . Прилагаме в двете страни на равенството
2 2
формулата за произведението на синусите на два ъгъла и получаваме

1 α 3α 1 α 4β + α 3α 2β + α
cos − cos = cos − cos ⇔ cos = cos .
2 2 2 2 2 2 2 2
От последното равенство следва, че α = 2β, защото са ъгли в триъгълник.
Задачи
1. Даден е △ABC със страна BC = 9 cm, а за ъглите му α и β е изпълнено,
1 7
че cos α = − , cos β = . Намерете периметъра и лицето на триъгълника.
3 9
182