Page 31 - M11_2024

r r
√ √ 1 1 √ √
а) x и 3 x за x ≧ 0; б) 3 и ; в) 3 5 и 5.
2 2
Решение:
√ √
а) На един чертеж построяваме графиките на y = x и y = 3 x за
x ∈ [0; 10].
От чертежа се вижда, че: y
• точките (0; 0) и (1; 1) са общи за y= x
двете графики;
• при x ∈ (0; 1) графиката на y =
3
√ √ y= x
x е под графиката на y = 3 x; 1
• при x ∈ (1; 10) графиката на y =
√ √
x е над графиката на y = 3 x. O 1 x
√ √
Следователно за x = 0 и x = 1 е изпълнено x = 3 x, за 0 < x < 1 е
изпълнено √ x < √ x и за x > 1 е вярно √ x > √ x.
3
3
r r
б) От √ x < √ x за 0 < x < 1, определяме 3 1 > 1 ;
3
2 2
√ √ √ √
в) От x > 3 x за x > 1, определяме 3 5 < 5.
Задача 2 . Да се построят на един чертеж, за x ≧ 0, графиките на функци-
∗
2
ите y = x , y = √ x и y = x. Да се определи взаимното положение на точките
A(2; 4) и A (4; 2) спрямо графиката на функцията y = x.
′
Решение:
На един чертеж построяваме гра-
фиките на дадените функции за x ∈
[0; 16].
От графиката се вижда, че точ-
ката A(2; 4) ∈ y = x , а точката
2
√
A (4; 2) ∈ y = x.
′
Означаваме точката M(2; 2) и
точката N(4; 4) от графиката на y =
x.
Четириъгълникът AMA N е квад-
′
рат. От свойствата на диагоналите на
квадрата следва, че AA ⊥ MN и
′
MN разполовява AA .
′
Следователно точките A и A са
′
симетрични спрямо графиката на
функцията y = x.
Аналогично може да се докаже, че на произволна точка C(a; b), 0 < a < b
2
от графиката на y = x съответства точка C (b; a) от графиката на y = √ x
′
така, че C и C са симетрични относно правата y = x.
′
30