Page 32 - M11_2024

Точките (0; 0) и (1; 1) са общи за трите графики и съвпадат със симетрич-
ните си точки.
2
Следователно за всяко x ≧ 0 графиките на функциите y = x и y = √ x са
симетрични относно ъглополовящата на I квадрант. Знаем, че тези функции
2
са и монотонно растящи в интервала [0; +∞). Тогава функциите y = x и
√
y = x при x ≧ 0 са взаимно обратни .
∗
∗
Нека е дадена функцията y = f(x) с дефиниционно множество D и мно-
жество от функционални стойности E. От определението за функция следва,
че на всяко x ∈ D съответства единствена стойност на y ∈ E. Така меж-
ду множествата D и E е установено еднозначно съответствие f. Освен това
може да се окаже, че на различни аргументи съответстват различни функ-
ционални стойности, т.е. от x 1 6= x 2 следва f(x 1 ) 6= f(x 2 ). Тогава между еле-
ментите на D и E може да се установи взаимно еднозначно съответствие.
В случая е установено обратното съответствие
ϕ, при което на всеки елемент от множеството
E съответства елемент от множеството D. При
това съответствие са сменени ролите на аргу-
мента и функцията и тъй като аргументът обик-
новено означаваме с x, а функцията с y, трябва ϕ
да сменим и техните означения.
2
2
Например от y = x , x ≧ 0, като заменим x с y, получаваме x = y , откъде-
√
то y = x, при x ≧ 0. Като изразим y, получената по този начин функция ϕ
е обратна на дадената функция f. Двете функции f и ϕ се наричат взаимно
обратни.
Условието, че от x 1 6= x 2 следва f(x 1 ) 6= f(x 2 ) не е изпълнено за всяка
функция, а то е необходимо за съществуване на обратна функция. За строго
растящите и строго намаляващите функции то е изпълнено и затова те имат
обратни функции.
Задача 3. Да се намери обратната функция на функцията y = x .
3
Решение:
Функцията y = x е строго растяща за всяко x ∈ R. Тогава тя има обратна
3
3
3
функция, която получаваме като заменим x с y, откъдето x = y и y = √ x за
всяко x ∈ R.
√
3
Следователно y = x и y = 3 x, при x ∈ R, са взаимно обратни функции.
∗
Задача 4. Да се разгледат графиките на дадените функции и да се опреде-
лят техните свойства:
7
а) y = x , y = x , y = x ; б) y = x , y = x , y = x .
6
4
2
5
3
Решение:
а) В полето на програмата graphsetch.com въвеждаме съответната фор-
мула x^2, x^4, x^6 и получаваме графиките на дадените функции.
31