Page 35 - M11_2024

Решение:
−1 0 2
1 6 1 1 1 1 1
а) − − + : 2 = 3 − 1 + . = 2 + = 2 ;
2
3 7 2 2 2 8 8
−2 2 −3 1 2 4 4
5
4
4
б) 0, 02 −3 .10 −4 . .0, 4 = . . .
5 100 10 4 4 10
−3 2 4 2 4 3 3 2 4
1 1 5 2 1 5 2 5 .10 .5 .2 5 1
3
= . . . = 50 . . . = = = ;
4
4
4
4
2
50 10 4 2 5 10 4 5 4 10 .2 .5 4 10 2
3
1
.2 −2 .8
3
2 2 −3 .2 −2 .2 .2 6 1 1
в) .(2 ) = = = .
2 3
6
3 2
(−2 ) .16 2 .2 4 2 6 64
Степен с показател рационално число
За обобщаване на понятието степен с рационален показател ще използ-
ваме познатото понятие корен n-ти.
Определение 1
Нека a е положително реално число, n ≧ 2 е естестве-
но число и m – цяло число. Под степен с основа a и рационален
m
степенен показател m се разбира числото √ a , т.е. a n = √ a .
m
n
m
n
n
√ √ √
2 3 4 9 5 3 −3 7
1
2
9
Например 7 3 = 7 , 3 5 = 3 5 = 3 и 4 − 7 = 4 7 = 4 −3 .
Степен с основа 0 е определена само за положителен рационален показа-
m
тел, т.е. при m и n естествени числа 0 n = 0.
m
Дотук дефинирахме a n за a – положително реално число, m – цяло число
и n – естествено число, n ≧ 2. Когато n е нечетно естествено число, дефи-
1
1
1
нираме a n и за a отрицателно реално число с равенството a n = −(−a) n ,
m m
m 1 1
откъдето a n = a n = − (−a) n , при m и n взаимно прости.
3
3
Например (−12) 4 няма смисъл (n = 4), но (−12) 5 има смисъл (n = 5) и
3 √
3 1 √ 3 5
5
3
(−12) 5 = − (+12) 5 = − 12 = − 12 .
Задача 2. Да се представи дадената степен с рационален степенен показа-
тел чрез корен:
4
2
2
1
а) 8 3 ; б) a 3 ; в) (27a) 3 ; г) (a − b) 3 .
Решение:
2 √ p p 4 √ √ √
3
3
3
3
4
2 3
3 2
2
а) 8 3 = 8 = 3 (2 ) = 3 (2 ) = 4; б) a 3 = a = a .a = a a;
3
1 √ √ √ 2 p
3
3
2
в) (27a) 3 = 3 27a = 3 a = 3 a; г) (a − b) 3 = 3 (a − b) .
3
Задача 3. Да се представи изразът с корен чрез степен с показател рацио-
нално число:
√ 1 √
p
а) 3 2, 5 ; б) 4 7 −1 ; в) √ ; г) 3 a − b .
2
2
2
3 −2
a
34