Page 38 - M11_2024

Задача 2. Да се пресметне стойността на израза:
1
1
2
а) 36 0,4 .2 5 .3 5 ; б) 2 1,4 .2 −0,7 .2 1,3 ; в) 49 0,3 .7 −2,6 .14 ;
1
r −
√ 1 √ 2 2 √ √ 5
г) 4 625.5 −1,5 : 25 4 ; д) 3 24. 3 2 ; е) ( 16 : 5 81) 2 .
5
3
Решение: 2
1
4
1
1
1
а) 36 0,4 .2 5 .3 5 = 6 2 5 .(2.3) 5 = 6 5 .6 5 = 6;
2
б) 2 1,4 .2 −0,7 .2 1,3 = 2 1,4−0,7+1,3 = 2 = 4;
2 0,3
0
2
2
2
в) 49 0,3 .7 −2,6 .14 = (7 ) .7 −2,6 .7 .2 = 7 0,6−2,6+2 .4 = 7 .4 = 4;
√ 1 1 1 1
г) 4 625.5 −1,5 : 25 4 = 5 4. −1,5 : 5 2 = 5 −0,5−0,5 = 5 −1 = ;
4
5
1 1
r
− r − 1
√ 2 2 8 2 √ − 1 1
д) 3 24. 3 2 = 3 24. = 3 2 6 2 = (2 ) 2 = 2 −1 = ;
2 −
3 3 2
! 5 ! 5
r
√ √ 5 5 2 4 2 4 5 2 2 4
2
2
5
е) ( 16 : 5 81) 2 = = = = .
3 4 3 3 9
Свойствата на степен с рационален показател се използват и за сравнява-
не на степени с равни основи.
Задача 3. Да се докаже неравенството:
1 1
p √ p √ √
а) 4 32 3 > 5 3 2 8 7 ; б) 20 4 −5 < 1.
Решение:
1 1
p √ p √ √
а) 4 32 3 > 5 3 2 8 7 б) 20 4 −5 < 1
r
1
1 1 5
p p 20
5 3 5 8 7 < 1
2 4 > 2 3 4
r
1 1 0
1 1 1 1
3 7
5 2 8 5 <
2 4 > 2 3 2 2
1 0
1
1
8
5
2 24 > 2 105 . 2 < .
2 2
5 8 1 1
От 2 > 1, > и свойство 7 От 0 < < 1, > 0 и свойство 8
24 105 2 2
5
8
следва, че 2 24 > 2 105 , т.е. 1 2 0
1
1
1 1 следва, че < , т.е.
p √ p √ 2 2
4 3 5 3 8 7 √
32 > 2 . 20 −5
4 < 1.
Задача 4. Да се намерят рационалните числа k, за които:
1
k √ √
k k
k
а) .4 ( 2 ) = 1; б) 3 27 5k = 3 k(k−4) .
2
Решение:
2
1
k √ k k 2 k 2 k +2k
2k
0
0
0
а) .4 . 2 k = 1 ⇔ 2 −k .2 .2 2 = 2 ⇔ 2 −k+2k+ 2 = 2 ⇔ 2 2 = 2 .
k
2
37