Page 42 - M11_2024

Решение:
2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 a 2 + 2a 2 .2b 2 + 2b 2 a 2 + 2b 2
a + 4a 2 .b 2 + 4b
а) = =
a − 4b 1 2 1 2 1 1 1 1
a 2 − 2b 2 a 2 + 2b 2 a 2 − 2b 2
1 1
a 2 + 2b 2
= 1 1 ;
a 2 − 2b 2

1 2
2
1 x 3 x 3 + 1 x 3 + 1
б) x + x 3 = = ;
1 1
2x 3 2x 3 2
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 a 3 − b 3 a 3 + b 3 a 3 − b 3
1
1
в) a 3 − b 3 1 = 1 1 = 1 1 = a 3 − b 3 ;
1
b 3 + a 3 a 3 + b 3 a 3 + b 3
3 3
1
1 + y 3 1 x 3 + y 3 1 x 3 − x 3 y 3 + y 3 2
1
1
2
x 3
г) x + y = =
2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
x 3 − x 3 y 3 + y 3 x 3 − x 3 y 3 + y 3 x 3 − x 3 y 3 + y 3
1
1
= x 3 + y 3 .
Задача 2. Да се пресметне стойността на израза:
2 1
a 3 − 6, 25 2x 2 1 √
а) при a = 125; б) − при x = 16 2;
1
1
a 3 − 2 1 x − 9 x 2 − 3
2
3
5 1 a 2 + b 2 3
в) b 6 − b 3 при b = 1, 44; г) при a = 0, 36 и b = 9.
5 1 1 1
b 6 + b 3 a − a 2 b 2 + b
Решение:
2
2 5 5 5
1 1 1
2 a 3 − a 3 − a 3 +
a 3 − 6, 25 2 2 2
а) = =
1
a 3 − 2 1 1 5 1 5
2 a 3 − a 3 −
2 2
1 5 1 5
= a 3 + = 125 3 + = 5 + 2, 5 = 7, 5;
2 2
1
1
1
1 1 2x 2 − x 2 − 3 x 2 − 3
б) 2x 2 − 1 2x 2 − 1 =
1
1
x − 9 x 2 −3 = 1 2 2 x 2 −3 = 1 2 2 x 2 − 3 x 2 + 3
1
1
x 2 − 3 x 2 − 3
1 1
= = √ = √ 1 ;
4
1
1
x 2 + 3 (16 2) 2 + 3 4 2+3

1 1
5 1 b 3 b 2 − 1 1 1
в) b 6 − b 3 = = b 2 − 1 = 1, 44 2 − 1 = 1, 2 − 1 = 0, 2 = 1 ;
5 1 1 1 1 1 1, 2 + 1 2, 2 11
b 6 + b 3 b 3 b 2 + 1 b 2 + 1 1, 44 2 + 1

2 2
1 3 1 3 1 1 1 1 1 1
3 3 a 2 + b 2 a 2 + b 2 a 2 − a 2 b 2 + b 2
г) a 2 + b 2 =
1 1 = 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2
a − a 2 b 2 + b a 2 − a 2 b 2 + b 2 a 2 − a 2 b 2 + b 2
1
1
1
1
1
1
= a 2 + b 2 = 0, 36 2 + 9 2 = (0, 6 ) 2 + (3 ) 2 = 0, 6 + 3 = 3, 6.
2
2
Задача 3. Да се докаже тъждеството:
3 3 1
a − b a 2 − b 2 (ab) 2
а) 1 1 − = 1 1 , при a > 0, b > 0 и a 6= b;
a 2 − b 2 a − b a 2 + b 2
41