Page 40 - M11_2024

Задача 1. Да се извършат означените действия:
2 3
1
1
а) a 3 b 4 a 3 − b 4 ; б) (2 + a 2,5 )(2 − a 2,5 );
2
1 1 1 2 1 1 2
в) 2a 6 − 1 ; г) a 3 + b 3 a 3 − a 3 b 3 + b 3 .
Решение:
1 1 2 3 1 + 2 1 1 1 + 3 1 1
а) a 3 b 4 a 3 − b 4 = a 3 3 b 4 − a 3 b 4 4 = ab 4 − a 3 b;
) = 4 − a ;
2
б) (2 + a 2,5 )(2 − a 2,5 ) = 2 − (a 2,5 2 5
2 2
1 1 1 1 1
в) 2a 6 − 1 = 2a 6 − 2.2a 6 + 1 = 4a 3 − 4a 6 + 1;

2 2
1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1
г) a 3 + b 3 a 3 − a 3 b 3 + b 3 = a 3 + b 3 a 3 − a 3 b 3 + b 3
3 3
1 1
= a 3 + b 3 = a + b.
Задача 2. Да се опрости изразът за допустимите стойности на a и b:
2 2 2
1 1 1 1 2 1 11
а) a 3 − b 3 + a 3 + b 3 ; б) a 3 − 2a 4 + 4a 12 ;

1
1
1
1
1
1
в) √ a + √ b − a 6 + b 6 1 2 ; г) a 6 + b 6 1 a 12 + b 12 a 12 − b 12 .
3
3
Решение:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
а) a 3 − b 3 + a 3 + b 3 = a 3 −2a 3 b 3 + b 3 + a 3 +2a 3 b 3 + b 3
2
2
= 2a 3 + 2b 3 ;
2 2 2
2 1 11 2 2 1 1 11
б) a 3 − 2a 4 + 4a 12 = a 3 − 2a 3 .2a 4 + 2a 4 + 4a 12
1
4
1
11
11
4
= a 3 − 4a 12 + 4a 2 + 4a 12 = a 3 + 4a 2 ;
2 2
2
√

1
1
1
1
1
в) √ a + 3 b − a 6 + b 6 1 = a 3 + b 3 − a 6 1 + 2a 6 b 6 + b 6 1
3
1
1
1
1
1
1
1
1
= a 3 + b 3 − a 3 − 2a 6 b 6 − b 3 = −2a 6 b 6 ;

2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
г) a 6 + b 6 a 12 + b 12 a 12 − b 12 = a 6 + b 6 a 12 − b 12
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
= a 6 + b 6 a 6 − b 6 = a 6 − b 6 = a 3 − b 3 .
Задача 3. Да се разложи на множители при a, b и x положителни числа:
1
1
1
3
1
2
1
а) x 3 − 3x 3 ; б) x 4 − 2x 2 ; в) b 3 − b; г) (3a) 3 − (6a) 3 ;
3
4
3
д) a 3 − 1; е) a 2 + 1; ж) 8 − b 5 ; з) 27a 1,5 − b −3 .
Решение:

2
1
1
1
а) x 3 − 3x 3 = x 3 x 3 − 3 ;

1
1
1
3
б) x 4 − 2x 4 = x 4 x 2 − 2 ;

2
1
1
в) b 3 − b = b 3 1 − b 3 ;
1 1
1
1
1
1
1
г) (3a) 3 − (6a) 3 = (3a) 3 − 2 3 (3a) 3 = 1 − 2 3 (3a) 3 ;
39