Page 37 - M11_2024

Свойства
m p m + p
1. a n .a = a n q .
q
m p m p
2. a n : a = a n − q .
q
p m p
m q .
3. a n = a n q .
m m m
4. (a.b) n = a n .b n .
m m
m .
5. a n = a n
b b n
m
6. Ако a > 0, то a n > 0.
m p m p
7. Ако a > 1, то < ⇔ a n < a .
q
n q
p
m
8. Ако 0 < a < 1, то m < p ⇔ a n > a .
q
n q
m p m p
q
9. Ако a > 0 и a 6= 1, то a n = a ⇔ = .
n q
∗
m p m + p
Ще докажем равенството a n .a = a n q .
q
Доказателство:
От определението за степен с рационален степенен показател и свойства-
та на корените получаваме
m p √ √ √ √ √
p
a n .a q = n a m q a = nq a m.q qn a p.n = nq a mq .a pn
√ mq+pn mq pn m p
= nq a mq+pn = a nq = a nq + nq = a n + q .
∗
Задача 1. Да се представи във вид на степен:
2

1 1 5 1 1 − 9
а) a − 3 a 2 ; б) a 6 : a − 3 ; в) a − 2 ; г) b 0,8 −6 7,2 ;
b
b
5 2
−20
3 9 7 5 √ 1 3 1 1
6
7
д) b − 4 b 12 ; е) b 3 b ; ж) 8c −1 2 ; з) c 5 : c 2 .
Решение:
1
1 1 − + 1 1 5 1 5 −(− ) 7
1
а) a − 3 a 2 = a 3 2 = a 6 ; б) a 6 : a − 3 = a 6 3 = a 6 ;
2
1 − 1 2 1
2
b
b
в) a − 2 9 = a − .(− ) г) b 0,8 −6 7,2 = b 0,8−6+7,2 = b ;
9 = a 9 ;
2
5
3 7 3 5 7 1 5 √ 5 7 5 7 17
7
д) b − 4 9 b 12 = b − . + 12 = b 6 ; е) b 3 6 b = b 3 b 6 = b 3 + 6 = b 6 ;
4 9
2
1 2 3 2
3
ж) 8c −1 2 3 = (2 ) 3 (c − 2 ) 3 = 4c −1 ;
−20 −20
1 1 1 1 3 .(−20) 6
з) c 5 : c 2 = c 5 − 2 = c − 10 = c .
36